\section{代 数 整 数}
我们已经讨论了 Gauss 整数和 Eisenstein 整数，发展下去是代数整数。

\begin{definition}%定义1
(1) 如果复数 $\alpha$ 是一个有理数系数多项式 $f(x)$ 的根，即 $f(\alpha)=0$,则称 $\alpha$ 是代数数。

(2) 若 $\alpha$ 是一个整数系数首一 (即最高次项系数为 1 ) 的多项式 $f(x)$ 的根，则称 $\alpha$ 是代数整数 (algebraic integer), 称此 $f(x)$ 为 $\alpha$ 的整性多项式。 也简称代数整数为整数(而正、负自然数和 0 有时则称为有理整数， 以示特殊性).
\end{definition}

人类的研究兴趣由有理整数逐步发展到一般的代数整数。

\begin{example}%例1
有理数域 $\mathbb{Q}$ 中的代数整数集为 $\mathbb{Z}$. 首先， $b \in \mathbb{Z}$ 显然是代数整数，满足
\[
x-b=0
\]
反之， 若有理数 $\alpha=b / c$ (其中 $b, c \in \mathbb{Z}$ 互素) 是代数整数， 设其为
\[
x^{n}+b_{1} x^{n-1}+\cdots+b_{n} \in \mathbb{Z}[x]
\]
的根， 则 $c \mid 1$ (见 § 7.2 系 2), 故 $c= \pm 1, \alpha= \pm b \in \mathbb{Z}$.
\end{example}

\begin{example}%例2
Gauss 整数 $\alpha=m+n \mathrm{i}$ 是代数整数 $(\mathrm{i}=\sqrt{-1} ; m, n \in \mathbb{Z})$, 是如下首一多项式的根：
\[
(x-\alpha)(x-\bar{\alpha})=x^{2}-2 m x+\left(m^{2}+n^{2}\right) \in \mathbb{Z}[X]
\]
\end{example}

\begin{example}%例3
Eisenstein 整数 $\alpha=m+n \omega$ 也是代数整数 $(\omega=(-1+\sqrt{-3}) / 2)$, 满足首一多项式
\[
  (x-\alpha)(x-\bar{\alpha})=(x-m-n \omega)(x-m-n \bar{\omega})=(x-m)^{2}+n(x-m)+n^{2} \in \mathbb{Z}[X].
\]
\end{example}

代数整数的例子还有： $\sqrt{2}, \sqrt{2}+\sqrt{3}, \sqrt[3]{5}, \sqrt[3]{5}+\sqrt{2}, \sqrt{5+\sqrt{3}}, \zeta_{m}=\mathrm{e}^{2 \pi i / m}$.

有很多代数数和代数整数是不能由根式写出的（Galois 证明了， 5 次以上有理系数多项式的根不一定可用根式写出). 可以证明， 两个代数整数的和、积仍是代数整数。

\begin{example}%例4
一个代数数的 “分母”可写为有理整数， 即任一代数数 $\alpha$ 可写为
\[
\alpha=\beta / b \quad(b \in \mathbb{Z}, \beta \text { 为代数整数 }).
\]
事实上， 因 $\alpha$ 是代数数， 可设 $\alpha$ 满足
\[
a_{n} \alpha^{n}+a_{n-1} \alpha^{n-1}+\cdots+a_{0}=0 \quad\left(a_{0}, \cdots, a_{n} \in \mathbb{Z}\right)
\]
于是以 $a_{n}^{n-1}$ 通乘之， 得
\[
\left(a_{n} \alpha\right)^{n}+a_{n-1}\left(a_{n} \alpha\right)^{n-1}+\cdots+a_{i} a_{n}^{n-1-i}\left(a_{n} \alpha\right)^{i}+\cdots+a_{0} a_{n}^{n-1}=0
\]
\end{example}

\begin{lemma}%引理1
(1) 设 $\alpha$ 为代数数， 则存在唯一的首一多项式 $p(X) \in \mathbb{Q}[X]$ 使 $p(\alpha)=0$, 且 $g(\alpha)=0$ 当且仅当 $p(X) \mid g(X)$ (对 $g(X) \in \mathbb{Q}[X]$ (此 $p(X)$ 称为 $\alpha$的极小 (不可约) 多项式， $\operatorname{deg} p(X)$ 称为 $\alpha$ 的次数).

(2) 代数整数 $\alpha$ 的极小多项式 $p(X)$ 是首一本原(整系数)多项式。
\end{lemma}


例如， $\alpha=\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ 的极小多项式为 $X^{2}+1 . \alpha=\sqrt[3]{2}$ 的极小多项式为 $X^{3}-2$.

\begin{proof}
 (1) 考虑使 $g(\alpha)=0$ 的 $g(X) \in \mathbb{Q}[X]$ 集合， 取其中次数最低的首一多项式记为 $p(X)$ (因为这些多项式的次数集是自然数的子集，必有最小者). 今若 $g(\alpha)=0$, 做带余除法得 $g(X)=p(X) q(X)+r(X), \operatorname{deg} r(X)<$ $\operatorname{deg} p(X)$, 则
\[
0=g(\alpha)=p(\alpha) q(\alpha)+r(\alpha)=r(\alpha)
\]
若 $r(X) \neq 0$, 则与 $p(X)$ 的次数最低性矛盾。 故知 $r(X)=0, p(X) \mid g(X)$. 反之显然。 由此也可得 $p(X)$ 的唯一性：若另有同样性质的 $p_{2}(X)$, 则 $p(X) \mid$ $p_{2}(X), p_{2}(X) \mid p(X)$, 又因皆是首一的， 故 $p(X)=p_{2}(X)$.

 (2) 设 $\alpha$ 是代数整数， 极小多项式为 $p(X) \in \mathbb{Q}[X]$, 整性多项式为 $f(x)$ (首一整系数), 则由 (1) 知 $f(X)=p(X) q(X)(q(X) \in \mathbb{Q}[X])$. 做容量分解 (见 § 7. 2) 得
\[
c_{f} f^{*}(X)=c_{p} c_{q} p^{*}(X) q^{*}(X)
\]
则 $1=c_{f}=c_{p} c_{q}, f(X)=p^{*}(X) q^{*}(X)$ (其中 $p^{*}(X), q^{*}(X)$ 为本原 (整系数) 多项式). 故 $p^{*}(X)$ 是首一的（因 $f(x)$ 首一）, 故 $p^{*}(X)=p(X)$ 是首一本原(整系数) 多项式。
\end{proof}

\begin{definition}%定义2
设 $K$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 的子域(即 $K$ 对加减乘除封闭， 0 不做除数), 且存在
\[
\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n} \in K
\]
使得任意 $\alpha \in K$ 可表示为
\[
\alpha=b_{1} \alpha_{1}+\cdots+b_{n} \alpha_{n}\left(b_{1}, \cdots, b_{n} \in \mathbb{Q}\right)
\]
则称 $K$ 为代数数域（简称数域）.最小的这种正整数 $n$ 称为域 $K$ 的次数 (degree), 而 $\left\{\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\right\}$ 称为域 $K$ 的一个基(basis).
\end{definition}

\begin{theorem}%定理1
(1) 设复数 $\alpha$ 的极小 (不可约) 多项式为 $p(X) \in \mathbb{Q}[X], \operatorname{deg} p(X)=$ $n$. 则
\[
\mathbb{Q}(\alpha)=\left\{b_{0}+b_{1} \alpha+\cdots+b_{n-1} \alpha^{n-1} \mid b_{i} \in \mathbb{Q}, \quad i=0, \cdots, n-1\right\}
\]
是一个代数数域 (称为向 $\mathbb{Q}$ 添加 $\alpha$ 得到的单扩（张）域), 次数为 $n$, 而 $\left\{1, \alpha, \cdots, \alpha^{n-1}\right\}$ 是 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 的一个基。

 (2) 任一代数数域 $K$ 可表为 $K=\mathbb{Q}(\alpha)$ ，如(1).

人类的研究兴趣， 逐步由有理数域 $\mathbb{Q}$ 发展到代数数域 $K$, 由有理整数环 $\mathbb{Z}$发展到代数整数环 $O_{K}$. 也就是说， 现代数论中， $K$ 和 $O_{K}$ 相当于 $Q$ 和 $\mathbb{Z}$ 的地位。
\end{theorem}

\begin{proof}
 (1) 我们要验证， 形如
\begin{equation*}
b_{0}+b_{1} \alpha+\cdots+b_{n-1} \alpha^{n-1} \tag{1}
\end{equation*}
的数 (称为 $\left\{1, \cdots, \alpha^{n-1}\right\}$ 的 $\mathbb{Q}$-线性组合) 对加减乘除封闭。 对加减显然。 要验证对乘法封闭， 只需证明任意 $\alpha^{m}(m>n)$ 仍形如上述。 我们设
\[
p(X)=c_{0}+c_{1} X+\cdots+c_{n} X^{n} \quad\left(c_{n} \neq 0\right)
\]
于是 $c_{0}+c_{1} \alpha+\cdots+c_{n} \alpha^{n}=0$, 故
\begin{equation*}
\alpha^{n}=-c_{0} / c_{n}-\left(c_{1} / c_{n}\right) \alpha-\cdots-\left(c_{n-1} / c_{n}\right) \alpha^{n-1} \tag{2}
\end{equation*}
将此式两边乘 $\alpha$, 再将右方新出现的 $\alpha^{n}$ 用 (2) 式代人， 则得到 $\alpha^{n+1}$ 为 $\{1, \cdots$, $\left.\alpha^{n-1}\right\}$ 的 $Q$-线性组合。 如此继续可得任意 $\alpha^{m}$ 为此种线性组合。
\end{proof}

再证 (1) 式形式的数对除法封闭， 只需证明 $\left(b_{0}+\cdots+b_{n-1} \alpha^{n-1}\right)^{-1}$ 仍为 (1) 式形式的数。 注意多项式 $g(X)=b_{0}+b_{1} X+\cdots+b_{n-1} X^{n-1}$ 次数小于 $n$, 故 $g(X)$ 与 $p(X)$互素 (因为 $p(X)$ 不可约), 故由辗转相除法可得 Bézout 等式
\[
u(X) g(X)+v(X) p(X)=1 \quad(u(X), v(X) \in \mathbb{Q}[X])
\]
故 $u(\alpha) g(\alpha)+v(\alpha) p(\alpha)=1$, 即 $u(\alpha) g(\alpha)=1$, 即得 $g(\alpha)^{-1}=u(\alpha)$ 为 (1) 式形式 (当 $\operatorname{deg} u(X) \geqslant n$ 时，可如上用 (2)式降次数).

 (2) 这是一个很广泛定理的特例， 要用到嵌入共轭概念， 此处不证。

\begin{theorem}%定理2
(1) 两个代数数的和、差、积、商仍为代数数(约定 0 不做除数). 故代数数全体构成一个域。

 (2) 两个代数整数的和、差、积仍为代数整数。

 (3) 设 $K$ 为任一代数数域， $K$ 中的代数整数集合记为 $O_{K}$, 则 $O_{K}$ 是整环，称为域 $K$ 的整数环。
\end{theorem}

此定理的证明不是很难， 需要一些代数知识， 此处不证。 有兴趣的读者可以参见 [53]第一章， 或其他书籍。

\begin{example}%例5
$\sqrt{2}, \sqrt{3}$ 都是代数整数， 欲证 $\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 为整数， 两边平方得
\[
\alpha^{2}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}=5+2 \sqrt{6}
\]
故 $\left(\alpha^{2}-5\right)^{2}=4 \cdot 6$. 即知 $\alpha$ 是 $\left(x^{2}-5\right)^{2}-24=x^{4}-10 x+1$ 的根， 为整数。
\end{example}

\begin{example}%例6
$\sqrt{3}, \sqrt[3]{2}$ 都是代数整数， 欲证 $\alpha=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$ 是整数。 我们用一个较为
深刻的办法。 我们知道， $\sqrt{3}$ 和 $-\sqrt{3}$ 是 “同一个不可约多项式的根”, 这种关系称为 “共轭” (conjugate); 我们也知道，
\[
\sqrt[3]{2}, \omega \sqrt[3]{2}, \omega \sqrt[23]{2}
\]
是共轭的 (其中 $\omega=(-1+\mathrm{i} \sqrt{3}) / 2$ ). 因此我们猜测， $\alpha=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$ 的共轭伙伴们是
\[
\begin{aligned}
& \alpha_{1}=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}, \quad \alpha_{2}=\sqrt{3}+\omega \sqrt[3]{2}, \quad \alpha_{3}=\sqrt{3}+\omega^{2} \sqrt[3]{2}, \\
& \alpha_{4}=-\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}, \quad \alpha_{5}=-\sqrt{3}+\omega \sqrt[3]{2}, \quad \alpha_{6}=-\sqrt{3}+\omega^{2} \sqrt[3]{2} .
\end{aligned}
\]
试令
\[
\begin{aligned}
f(x) & =\left[\left(x-\alpha_{1}\right)\left(x-\alpha_{2}\right)\left(x-\alpha_{3}\right)\right]\left[\left(x-\alpha_{4}\right)\left(x-\alpha_{5}\right)\left(x-\alpha_{6}\right)\right] \\
& =\left[(x-\sqrt{3})^{3}-2\right]\left[(x+\sqrt{3})^{3}-2\right] \\
& =\left(x^{3}+9 x-2-3 x^{2} \sqrt{3}-3 \sqrt{3}\right)\left(x^{3}+9 x-2+3 x \sqrt{3}+3 \sqrt{3}\right) \\
& =\left(x^{3}+9 x-2\right)^{2}-27\left(x^{2}+1\right)^{2} .
\end{aligned}
\]
这就证明了 $\alpha=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$ 也是整数。
\end{example}

若 $K$ 是一个域， $F$ 是 $K$ 的子集合， $F$ 也是域(运算与 $K$ 一致), 则称 $F$ 是 $K$的子域 (subfield), $K$ 是 $F$ 的扩张或扩域 (extension), 记为 $K / F$. 此时， $K$ 是 $F$上的线性空间， 其维数 $n$ 称为扩张次数， 记为 $n=[K: F]$. 当 $F$ 是有理数域 $Q$的扩张时， $K$ 一定可表示为 $K=F(\alpha)$, 即由一个元素 $\alpha$ 与 $F$ 的元素通过加减乘除得到的集合， 称为向 $F$ 添加 $\alpha$ 的单扩张。 $\alpha$ 满足一个系数属于 $F$ 的 $n$ 次不可约多项式。

若映射 $\sigma: K \rightarrow K$ 是一个双射 (即一一对应), 且保加法和乘法 (即
\[
\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta), \quad \sigma(\alpha \beta)=\sigma(\alpha) \sigma(\beta)
\]
对任意 $\alpha, \beta \in K$ 成立), 则称 $\sigma$ 是域 $K$ 的自同构。 进而， 若还有 $\sigma(a)=a$ 对任意 $a \in F$ 成立， 则称 $\sigma$ 是域 $K$ 的 $F$-自同构。 若 $K$ 有 $n=[K: F]$ 个互异的 $F$-自同构 $\sigma_{1}, \cdots, \sigma_{n}$, 则称 $K / F$ 为 Galois 扩张， 称 $G=\left\{\sigma_{1}, \cdots, \sigma_{n}\right\}$ 为 $K / F$ 的 Galois 群， 记为 $\mathrm{Gal}(K / F)$, 对下列运算是群：
\[
\left(\sigma_{2} \sigma_{1}\right) \alpha=\sigma_{2}\left(\sigma_{1} \alpha\right) \quad(\text { 对 } \alpha \in K).
\]
若 $\mathrm{Gal}(K / F)$ 为 Abel 群 (或循环群), 则称 $K / F$ 为 Abel 扩张 (或循环扩张). Galois 群对扩域的性质结构很重要， 是 Galois 理论的研究内容， 其基本定理是： $\operatorname{Gal}(K / F)$ 的子群与 $K$ 的子域(含 $F$ ) 之间一一对应。

